发布时间：2019-11-06   点击量：1555次

一　数学是怎样发展起来的

　　我们平常一谈起数学，谁都会联想到小学里学习的算术，特别感到算术的四则运算，就是加法、减法、乘法、除法用处很大。到了中学以后，开始学习初中代数、平面几何，进一步学习三角学、高中代数、立体几何、解析几何。有些中学生毕业后进入高等学校，其中不少人还要学微积分、微分方程；一部分专门学数学的还要学数学分析、高等代数、高等几何、微分方程、函数论、概率统计等等。一个学生从小学到大学所学的数学科目确实不少，内容大多是数学的基础知识，由浅到深，由少到多，由简单到繁杂，由具体到抽象，真是五花八门，琳琅满目。但是，如果把它们的内容分析一下，就可以看出大致分为两类：一类是现实世界中量的关系，一类是空间形式。例如，算术、代数属于前一类，几何属于后一类。人们不禁要问：为什么要学这些内容？这些内答有什么用处？数学的特点是什么？怎样学好数学？

　　在对这些问题作出初步回答之前，让我们先回顾一下数学是怎样发展起来的。

　　在很早的时候，人类在生产实践中，由于比较大小的需要，逐步获得了数的概念。最初是自然数，就是1，2，3，4，……。后来逐渐发展成为分数，并从正数发展到负数，从有理数发展为无理数，它们全体构成一个所谓实数域。在获得数的概念的同时，也发现一些具有特定形状的物体具有特定的性能，获得一些简单几何形体的概念，例如，三角形、四边形、圆、棱柱、圆柱、球等等。据说，古代埃及人曾经甩绳子撑成边长分别是 3 个单位、4 个单位、5 个单位的直角三角形，借以作出直角，而把它应用到建筑上。有了简单几何形体的概念之后，再用数量来表示一些简单几何形体的面积、体积等等，例如圆的面积、球的体积，并且把这些数量关系归纳为公式来表示出一种规律。人们几千年来就是这样应用这些公式计算耕地的面积和建筑物的体积的。这应该说是形与数的结合了。所以，早在人类文化的初期，就已经积累了一些数学知识。到了十六世纪，包括算术、初等代数、初等几何和三角学的初等数学已经大体上完备了。

　　十七世纪，生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，不但已有的数学成果得到进一步巩固、充实和扩大, 而且由于实践的需要, 开始研究运动着的物体和变化着的现象，从而获得了变量的概念。这是数学发展史上的一个转折点。于是数学不仅研究不变的数量和个别的图形, 而且开始研究变化中的量与量之间的相互制约关系和图形间的相互变换。这样, 运动和辩证法就进入了数学。随着生产力的发展，科学技术对深入探讨各种量的关系的要求越来越高。这对准确掌握各种自然现象的变化过程，包括各种质变现象发生的规律起了推动的作用，而数学的研究范围也就不断地扩大，内容日益丰富。

　　在这里，我们要提出经常听到的一个疑问：为什么数学家在研究室里思考出来的高等数学法则，在建筑、机械的施工现场上，在火箭、卫星的设计制造中都会发生作用呢？要解答这个问题，并不困难，我们只要观察周围的日常用品，像茶杯、桌子、皮鞋等，就可以发现没有一样物品是不同数学打过交道的。在双手制造物品的过程中，哪里花费劳动力越多，哪里数学的思维加工也越多。数学是研究现实世界中量的关系和空间形式的。但是无论量的关系也好，空间形式也好，它们都是从现实世界中的具体现象里抽象出来的，并经过反复实践才得出一些规律。只有那些在实践中经得起考验的，就是正确地反映了客观规律的才能留传下来，而其余不符合客观然律的部分则被淘汰无遗了。所以把这些公式应用到建筑、机械的现场里和火箭、卫星的设计中去，是不会出差错的。

　　二十世纪的数学比过去任何时期都发展得更快，内容分得更细了。这就不但在研究的对象和方法上，而且也在使用的语言上，都产生了各分支之间“隔行如隔山”的感觉。固然，现代数学涉及的问题范围非常广泛，要理解数学全盘的结构似乎尤为困难，但是事实并不这样，因为数学各分支并不是孤立的、毫无联系的，而恰恰相反，代数、几何、数学分析、拓扑等一类基础知识相互关联着，并且通过它们使数学的所有分支形成一个有机的整体。不但如此，由于现代物理学和其他科学的辉煌成就，又不断地揭露出隐藏在数学与物理学等之间的密切关系。正如十七世纪发现的微积分原先起源于力学一样，现代数学里的广义函数的产生是和量子力学分不开的。一句话，现代数学的发展有赖于物理学及其他自然科学，甚至一些社会科学、人文科学的发展。现实世界中各个方面的结构深刻地反映到数学的内部结构里来。这样，数学各分支间的有机联系根深蒂固地存在于现实世界的这种统一的结构里，并且从中吸取感性的养料而成长壮大起来。但是，必须指出，数学决不溶化在其他自然科学里，数学与其他自然科学之间存在着本质上的区别。换言之，在现实世界的各种各样范畴里，数学是通过量的关系和空间形式的研究发展起来的，而其他自然科学则是适应所探讨的自然界的某一类型的运动形态的特殊要求而进展的。在数学里，为了把这些关系和形式变成纯粹的方式来研究，总是把它们从内容中分离出来、抽象化之后进行考察的。所以，数学的最大特点，是它的理论往往具有非常抽象的形式，但它同时也是现实世界中量的关系和空间形式的深刻反映，因而可以广泛地应用到科学和技术的各个部门里，对人类认识世界和改造世界，起着重要的作用。因此，研究数学决不能完全离开实际来孤立地思考问题、解决问题，否则也就有走上形而上学唯心论道路的危险。从古以来，似乎一直存在于数学与其他自然科学之间的一条鸿沟，由于现代科学的发展正逐渐地趋于消失了。

二　数学在社会主义建设中的重要作用

　　为了说明数学在我们国家社会主义建设中所占的重要地位和所发挥的巨大作用，我们只需要举一些例子来加以说明就可以了。

　　大家都知道，从古代开始，任何工程技术都离不开数学。到了近代，随着科学技术向高、精、尖方向不断发展，各门工程技术对数学的要求愈来愈高，数学已成为工程技术不可缺少的有力工具，而高速电子计算机的出现和普遍使用，又使许多过去无法进行的大型、精密的计算成为可能，为数学的应用开辟了更为广阔的前景。

　　在土木建筑及机械设计等工程部门中，为了使所建筑的房屋及所生产的机器安全可靠、经久耐用，在尽量少的成本、原材料消耗最省的情形下发挥最大的效益，必须进行强度及振动方面的计算。这要求对具很不规则形状的构件求解复杂的弹性力学方程组。近年来发展起来的一种新的计算方法——有限元素法，为求解这类问题提供了有效的手段，现在已经可以直接利用电子计算机来进行有关的设计工作，从而使这些部门的设计及生产水平提到了一个新的高度。

　　在石油开发中，为了判断地下油层的位置及储量，需要采用备种测井的手段。因为地底下的情况是看不见、摸不着的，要通过测井仪器所测得的数据来推出地层中的情况，这在数学上化为求解一个反问题。迄今为止，人们已设计了各种各样的测井仪器，并利用数学方法制作了各种类型的测井解释图版来求解这类反问题，在油田的开发实践中起了重要的指导作用。很明显，在这儿数学方法起了举足轻重的作用：只有将测井仪器和数学方法相结合才能真正解决问题。

　　在工程设计中常用试验的手段。但多做试验不仅费钱、费时，使整个设计耗资大而且周期拉得很长，同时对不少尖端科学技术（别是一些与国防有关的科学技术）也不能轻易地进行试验。现在，由于数学方法的介入和电子计算机的使用，人们已可以通过对所研究的问题建立起相应的数学表达形式（称为数学模型），在数学上迸行了比较充分的研究后，在电子计算机上针对各种不同的方案进行数值模拟来代替实际的试验，从而可将需要进行的试验次就减到最少。这充分地显示了数学的威力。国外已经有理论、计算和试验三位一体的提法，将理论分析和数值计算提到和试验同等甚至更为重要的地位，这是很有道理的。在我国原子弹和氢弹的试制过程中，由于充分发挥了理论分析和数值摸拟的作用，造原子弹时所用的试验只占西方国家的十分之一，而从原子弹到氢弹只用了二年零三个月的时间，比西方国家快了很多，就是一个很好的佐证。

　　数学不仅作为工程技术的一个有力的工具，而现在已直接应用于设计和制造的过程，出现了 CAD（计算机辅助设计）及 CAM（计算机辅助制造）等新的学科，在机械、建筑、航空、造船、汽车甚至服装等行业中已开始得到应用。工程技术人员只需指定几个必需的数据，就可以由电子计算机根据已编制好的计算程序，画出合意的设计图纸，并进行必要的校核，甚至再进一步指挥机器进行加工、生产。可以想象，当这些技术普及推广以后，整个工程技术将会出现怎样一个崭新的面貌啊！

　　所有这一切，都充分地说明了现在的工程技术已经进入了数理工程技术的新时代。这一时代的重要标志就是数学方法在工程技术中的广泛的极有成效的应用。

　　除工程技术外，数学在生产管理及国民经济的其他部门中也起着越来越重要的作用。国民经济规划的制定、资源的合理分配、交通运输的有效安排、农产品的大面积估产、天气及海浪的预报等等，都离不开数学。至于数学作为各门科学的重要基础和开发人们智力的重要手段，在提高全民族的思程文化水平，在精神文明建设中的重要作用，就更是无法估量的了。

　　解决在社会主义建这中提出的各种数学课题，是我国数学工作者的光荣任务，也是广大有文化的劳动者的神圣职责。这些问题的解决，单纯依靠已有的数学方法和工具是远远不够的，还必须在各个数学领域里进行大量的、创造性的理论研究工作；在许多方面，还要求理论工作走程实践工作的前面，更好地发挥理论的指导作用。因此，这些课题将成为我国数学发展的一个动力，而这些课题的解决，无疑地也将成为我国数学接近世界先进水平的一个标志。

三　什么是正确的学习态度

　　今天我们中学的同学是在相当优越的条件下学习的。有很好的教师，有完备的校舍，有足够的教学设备，比我的中学时代不知好多少倍。别的学科姑且不谈，单就数学这门学科的教学回顾一下当年的中学情况吧。我过去学习的中学是四年制，担任数学课的教师大多是旧制中学毕业生，或学法律、教育的高等院校毕业生，很少有大学或师范院校数学系科毕业的。例如，有一年教我们平面几何的老师是高等师范学校数学系毕业的，但是，不久他就被调到北京去了。看来，我所以把几何定做自己的专门组课，同这位老师的教导是很有关系的。那时候，算术、几何（包括平面几何与立体几何）各学一年，三角、初等代数各学半年，高等代数学一年，用的教本是温德华士编的几何（英文本）的中译本，另外也用过秦汾编的几何和其他一些教本；课外读物连一册也看不到。老师教我们，也不像现在的老师这样认真负责。我还记得，我所在的一班有四十五人，那年考代数的试题里有一题是 x^12- y^12 的因式分解，全班只有我一个人做出来。可见当时教学质量是不高的。其他物质条件更不能同今天相比了。

　　今天同学们在十分良好的环境里学习，真是莫大的幸福，应该记住，这是中国共产党领导全国人民通过艰苦斗争得来的，是无数革命先烈抛头颅、流鲜血换来的。但是，我们也不能不看到，我国在经济上、文化上还很落后。正是因为这样，我国人民在中国共产党的领导下，有信心，有志气，主要依靠自己的努力，经过长期的斗争，来改变贫穷落后的面貌，逐步把我国建设成为农业现代化、工业现代化、国防现代化和科学技术现代化的强大社会主义国家。这个重大责任落在我们大家的身上，特别是你们年青一代的身上。如前所述，建设社会主义是离不开数学的，所以应该充分利用目前的有利条件，努力学好数学，也要学好其他学科，扎实地打好中学阶段的基础，准备将来同全国人民一起劳动，一起斗争，早日将我国建成一个具有四个现代化的社会主义强国，为人类作出更大的贡献。

　　要学好数学，应该采取什么样的学习态度呢？我想提出如下的三点意见。

　　第一，要为社会主义发挥学习的积极性。在中学里努力学习，将来争取升学，这样做是不是为个人打算呢？升学是为取得更进一步学习的机会，学到更好的本领，将来更好地为国家和人民服务。但是，高等学校入学人数根据国家建设需要来规定，不可能而且也不应该招收全部中学毕业生。如果招收全部毕业生，工厂和农村的劳动力又从何而来呢？所以中学毕业生中能够升入高等学校学习的目前还只能是少数，而大部分都要直接参加生产劳动。那么，是不是由于自己不一定能升学就认为不能实现自己的“理想”，从而就学得马马虎虎呢？这当然就不对了。任何人总有一个理想，只不过理想有伟大和渺小之差罢了。如果学习的动机只是为了个人将来成名成家，那么这种理想未免太渺小了。要为人类的进步、祖国的繁荣富强而奋斗，为实现四个现代化而奋斗，这才是伟大的理想。要使这个理想能够实现，不致成为空想，我们就要关心政治、关心集体、遵守纪律、参加劳动、为社会主义奋发学习。我们说，要有全面发展的观点，重要意义就在这里。我们在中学里把数学学得更好些，对毕业后直接参加生产劳动或升入高等学校进一步学习都会有很大帮助；只要注意我们学好数学的目的不仅仅是为了升学，也是为了能够把数学更好地应用到社会主义建设中去。能升学的同学，将来高等学校毕业后还是同样为社会主义建设服务，同不升学的同学稍有不同之处是在时间上相差几年，在业务分工上可能有所不同，如此而已。有的同学认为，如果将来不能升学，就低人一等，因而“发奋”学习，目的只是为了升学；有的同学认为，反正将来没有希望升学，不升学，数学好象没有多大用处，就马马虎虎学习数学；有的同学虽然在道理上也懂得在我国社会主义建设中，需要大量的知识青年，中学里学到的数学知识在工农业生产中也大有用处，但是学习中怕艰苦，不肯钻研；等等。这些看法和态度都是不正确的。正确的看法和态度应该是，大家更好地发挥学习数学的积极性，毕业后不论升学或者参加工作，都要使数学这门学科的知识在祖国社会主义建设事业中发挥最大的作用。

　　第二，既要争取指导，又要进行独立思考。对中学同学说来，最能了解你们学习数学的情况的，了解你们现阶段数学程度的，可能再也没有人能比得过你们的数学老师了。因此，同学们要多向老师请教，争取老师的教导, 要按照老师的要求进行学习。如果有人问我过去怎样学习数学的话，我回答三句话：一、听从老师的教导，学好数学，也学好其他学科；二、刻苦钻研，迅速养成独立思考能力；三、坚持下来、风雨无阻。要听从老师的教导，这并不排斥同学在学习中发挥主观能动性，只是说，不要不恰当地发挥“主观能动性”甚至把自己抬高到比老师还要“内行”的程度，错误地解释“一代好过一代”，“青出于蓝而胜于蓝”。只有今天接受老师的教导，将来才可以而且也必须超过老师。即使能够做到这一点，那也是将来的事，并且也不可能一下子在所有方面都胜过老师。我经常同大学里数学系的同学和青年教师谈起：“你们既要解放思想，破除‘老师万能’的想法，又要认真的向老师学习尚未学到家的某些知识和经验，来提高自己的业务水平，譬如我读外文书的能力，你们就不是一年、两年可以学到的。千万不要一脚把我踢开。”这段话，我自认为是很诚恳的。所以同学们必须尊敬老师，对老师要有礼貌，不要评头品足。我们要把自己的学校看成是最好的学校，自己的老师看成是最好的老师。只有这样，才能虚心学习，才能虚心向老师请教，也才能真正学得到东西，才能一代胜过一代。个别新老师的教学方法不能完全令人满意，总是难免的。这也是教育事业迅速发展中的暂时现象。只要同学们养成善于思考、善于抓住中心的习惯，做好预习和复习，把时间更好地、更合理地利用起来，把上课和做作业很好地配合起来，这样也就可以把知识、技能学好。古语说：“名师出高徒。”名师当然要出高徒，天下没有不出高徒的名师，否则就不成为名师。可是反过来也应该看到，高徒并不是个个都从名师那里出来的。重要的在于自己的主观努力。虚心使人进步，骄傲使人落后。我们必须牢牢记住这句话。

　　独立思考能力的培养，中学阶段起着重要的作用。同学们在学习中好比一个小孩走路，开始总要大人扶着走。但随着孩子的成长，大人要放放手，让他试着走，这时孩子也有这样的要求，因此他即使摔了跤，也还是要继续试。“吃一堑，长一智”，通过多次尝试，孩子终于可以独立行走了。学习开始，老师对同学总是多扶一把，教的知识具体细致，但随着同学学习能力的提高，老师就要逐步少扶一点，而要求同学们自己多动一些脑筋、多考虑些问题。只有通过自己思考，才能使获得的知识更加巩固。所以同学们在学过的知识范围内，遇到不懂或难懂的地方，首先自己想想看，做做看，想不出，做不出的时候，再请教老师。这样就可以逐步养成独立思考问题、独立工作的习惯。这种习惯对今后工作，学习将带来无限的好处。譬如我在当研究生的时候，有一次，在研究几何问题上遇到一些从前没有学过的解析几何知识，我去请教老师，老师要我去查沙尔门、菲德拉的解析几何。这书一共有三厚本，又是用德文写的，那时候我读起来也很吃力，但只好去啃它。当时也埋怨过老师不来教我。但是当我读完那三大本以后，不但解决了我的研究问题，同时还得到一生用不完的基础知识，对以后的研究工作起了很大的作用。我用这个例子，不是要中学同学都去钻自己没有学过的知识，而是希望同学们养成独立思考问题的习惯，要善于用脑子。像你们做的作业，一般通过自己思考都是能够解决的。但有的同学就怕动脑筋，稍有疑难就问别人，结果自己真正得到的极少，更大的损失是自己没有学会一套学习和工作的方法。

　　总之, 我们既要尊敬老师，听老师指导，从老师那里学到自己不懂的知识，又要善于培养自己思考问题、学习抓住中心的习惯和能力。两者必须结合起来，不可偏废，只有这样我们才能够学习得更好，进步得更快。

　　第三，要正视困难，刻苦钻研。学习数学和学习其他学科一样，只要注意打好基础、争取指导，同时发挥独立思考作用，总是能够比较顺利地前进的。但是，这不等于说没有困难。学习前人传下来的知识，要掌握和运用这些知识，并且使之发展扩大，进一步广泛地应用于实际，来为社会主义服务，这个过程肯定地是错综复杂、万分艰巨、不可能没有困难的。同学们必须用奋发图强的精神对待困难。一方面，我们要在战略上藐视困难，要立壮志，攀高峰；另一方面要在战术上重视困难，要充分估计可能遇到的各种各样的困难，事前作好准备，以免在遇到困难时惊慌失措。

　　我们学习知识有两种情况，一是学习前人传下来的书本上的知识，对于这类知识只要多看、多想、多实践，一定能够掌握它。由于各人的理解能力有差别，遇到的困难也会有所不同，但是，归根到底，这类知识是完全能够为我们所掌握和运用的。在中学里学习的数学，可以说全部属于这一类。总的说来，今天同学们在中学里毕竟还处于“打基础”的时期，在学习中碰到的困难，当然不会太大，可是困难也是存在的。有了困难，就应该去克服它。另一种情况是学习正在发展中的、尚未达到十全十美的知识。对于这类知识的学习，情况就不完全相同了。除了要通过刻苦钻研才能理解以外，不同于前一种情况的在于：坚持钻研的结果，不仅能够把已经明确的那一部分搞清楚，而且还可以把问题向前推进一步，这就是科学研究——创造性的工作。同学们将来会遇到这些问题的，这里就不多谈了。

　　总之，在学习数学的过程中，我们既不要害怕困难，也不要把学习看做平坦的、一帆风顺的过程。正确的态度是：既要有正视困难的勇气，又要有克服困难的毅力。只有这样，我们才能把功课学好。

四　学好数学的方法

　　数学具有高度抽象性，而应用却十分广泛。怎样学好数学，并且使它能够为我们所掌握运用，自然不是那么轻而易举的事情。如大家所知，在小学里学习算术，主要是结合具体事例，从实际课题出发，达到能够正确而迅速地运算和能够直观地认识一些简单的平面图形、立体图形的要求。进入中学以后，要在小学算术的基础上对数量关系的知识作进一步的学习，要对空间形式的知识作系统的学习，并且要对形与数相结合的知识进行学习。所以在中学阶段里，特别是高中阶段里学习数学的任务是比较繁重的，也是非常重要的。数学学得好坏，不仅关系着今天能不能学好其他学科如物理、化学等，而且更重要的是关系着毕业后能不能解决生产实践中将遇到的实际问题，也关系着今后在攀登科学高峰的道路上能不能接近和赶上世界先进水平。因此，在中学阶段打好数学的基础，对于把我国建设成为农业现代化、工业现代化、国防现代化和科学技术现代化的强大社会主义国家有重大的意义。

　　在中学的数学课本里，一些基本的概念是逐步地被引导进来的，要把基本的概念了解清楚，可以说是学好数学的第一个步骤。如果概念还没有理解清楚，就急急忙忙地去证明定理、做习题，那是没有不碰壁的。有些同学在课堂里听了老师的讲课以后，回到家里就拿起笔来做习题，这时大概对以下两类习题的演算不大会感到困难：一类是用到的基本概念已经正确理解了的习题。由于正确理解了概念，解答所配的习题就比较容易，而通过习题的演算反过来还可以进一步明确概念以及从概念导出来的结论——定理。另一类是同课堂里老师做给大家看过的例题类似的习题。对这类只要“依样画葫芦”的习题，即使基本的概念还没有理解清楚，也可以做出来，但是如果遇到习题稍有更改，就会感到无从下手。像这种看来似乎能演算而实际是“描红”的情况，在今天的中学生里并不是罕见的。不少同学对数学竞赛的试题感到困难，原因不是别的，就是从来没有见过这类题目。

　　正确地理解数学的基本概念之所以重要，是因为它是掌握数学基础知识的前提。犹如造房屋那样，基础打得牢靠些，将来在它的上面造起来的房屋就不会坍毁。因此，正确理解